Wann existiert ein Minimum?

Wann existiert ein Minimum?

Gibt es ein x0 ∈ D mit f(x0) = infx∈D f(x), so heißt x0 Minimalstelle und f(x0) Minimum von f. f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1) für alle x ∈ [a,b] . Jede stetige Funktion nimmt also auf einem abgeschlossenen Intervall Maximum und Minimum an.

Wann besitzt eine Funktion ein Maximum?

Ist der Funktionswert der zweiten Ableitung an der Stelle ungleich Null, handelt es sich um eine Extremstelle. Ist der Wert größer als Null, ist es ein Minimum; ist der Wert hingegen kleiner als Null, handelt es sich um ein Maximum.

Wann ist eine Funktion stetig?

Stetigkeit einfach erklärt Bildlich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn du sie als eine einzelne Linie ohne Absetzen deines Stiftes zeichnen kannst. Mathematischer formuliert findest du die Stetigkeit von Funktionen, indem du den rechtsseitigen Grenzwert mit dem linksseitigen Grenzwert vergleichst.

Wann ist ein Intervall kompakt?

Abgeschlossenes Intervall Ein Intervall ist genau dann kompakt, wenn es abgeschlossen und beschränkt ist.

Ist jede stetige Funktion beschränkt?

Der Satz besagt, dass jede auf einem kompakten reellen Intervall definierte, reellwertige und stetige Funktion beschränkt ist und im Definitionsbereich ihr Maximum sowie Minimum annimmt.

Wann ist eine Funktion nach oben beschränkt?

Eine Funktion f:Df→Wf, x↦f(x) heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl s∈R gibt, sodass f(x)≤s für alle x∈D ist.

Wann ist eine Funktion stetig fortsetzbar?

Wenn die Funktion f an der Stelle x0 nicht definiert ist, aber der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen, wird dieser Wert als Grenzwert limx→x0 f(x) bezeichnet. Dann ist f stetig fortsetzbar in x0.

Wann ist eine Funktion stetig differenzierbar?

Eine Funktion ist stetig differenzierbar, wenn sie differenzierbar ist und ihre ->Ableitungsfunktion stetig ist. Beispiel: Die Funktion f mit f(x) = 2x³+5x²+10 besitzt die stetige Ableitung f‘ mit f'(x) = 6x²+10x. Alle ->ganzrationalen Funktionen sind stetig differenzierbar.

Wann ist ein Intervall abgeschlossen?

Beschränkte Intervalle ist abgeschlossen, wenn es beide Grenzen enthält, und offen, wenn beide Grenzen nicht enthalten sind. Ein beschränktes Intervall heißt halboffen, wenn es genau eine der beiden Intervallgrenzen enthält.

Wann ist ein Intervall offen?

Geometrisch gesehen sind Intervalle Abschnitte (und Strahlen) auf dem Zahlenstrahl. Ein endliches Intervall ist geschlossen, wenn beide Intervallgrenzen Teil der Menge sind und halboffen, wenn eine Grenze Teil ist, die andere aber nicht. Bei offenen Intervallen ist keine der beiden Intervallgrenzen Teil des Intervalls.

Was ist der Satz vom Maximum und Maximum?

Der Satz vom Minimum und Maximum ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Analysis, der dem deutschen Mathematiker Karl Weierstraß zugerechnet wird. Der Satz besagt, dass jede auf einem kompakten reellen Intervall definierte, reellwertige und stetige Funktion beschränkt ist und im Definitionsbereich ihr Maximum sowie Minimum annimmt.

Was ist ein Maximum?

Ihr Maximum ist der Größere der beiden Maxima von und und somit nimmt auch sein Maximum an (analog für das Minimum). Unsere Erkenntnis: Jede stetige Funktion auf dem Definitionsbereich erfüllt die Konklusion des Satzes vom Minimum und Maximum.

Was ist das Minimalprinzip für die Abschlussprüfung?

Zu Übungszwecken und als Vorbereitung für die Zwischen- und Abschlussprüfung empfiehlt es sich, das Minimalprinzip und das Maximalprinzip auf Situationen aus dem (Arbeits-)Alltag anzuwenden. Definition: Bei dem Minimalprinzip möchte man mit geringstens Mitteln ein vorgegebenes/festes Ziel erreichen.

Was ist das Maximalprinzip?

Definition: Bei dem Maximalprinzip verhält es sich genau umgekehrt zum Minimalprinzip. Hier möchte man mit gegebenen/festen Mitteln einen möglichst hohen Ertrag/Nutzen erzielen.