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Wie ist eine offene Menge definiert?
In dem Teilgebiet Topologie der Mathematik ist eine offene Menge eine Menge mit einer genau definierten Eigenschaft (siehe unten). Anschaulich ist eine Menge offen, wenn ihre Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind, mit anderen Worten, wenn kein Element der Menge auf ihrem Rand liegt.
Ist Q eine offene Menge?
Die Teilmenge Q ⊆ R ist weder offen noch abgeschlossen. Dies ist klar, da jedes nicht leere, offene Intervall sowohl rationale als auch irrationale Zahlen enthält. von offen und abgeschlossen können vorkommen, was gerne als ” Mengen sind keine Türen“ formuliert wird.
Wann ist eine Menge offen und abgeschlossen?
Eine Menge X ist offen genau dann wenn ihr Komplement X M c abgeschlossen ist. Eine Menge X ist abgeschlossen genau dann wenn ihr Komplement X M c offen ist. Example 2.9.21. Die Mengen M und ∅ sind sowohl offen als auch abgeschlossen.
Ist die Menge offen oder abgeschlossen?
Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist, was die Möglichkeit einer offenen Menge ergibt, deren Komplement ebenfalls offen ist, wodurch beide Mengen sowohl offen als auch geschlossen sind und daher abgeschlossen und offen sind. Analog ist eine Menge offen, wenn ihr Komplement abgeschlossen ist.
Wann ist ein Raum abgeschlossen?
Eine Teilmenge A ⊆ M A\subseteq M A⊆M eines metrischen Raums heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement M ∖ A = A c M\setminus A=A^c M∖A=Ac offen ist. Abgeschlossen und offen sind damit zueinander duale Begriffe.
Warum ist die leere Menge offen und abgeschlossen?
Eine leere Menge hat keine Randpunkte, weil sie ja keine Elemente enthält. Und da sie keine Randpunkte hat bzw. keinen Rand, kann man sagen behaupten, dass sie offen ist. Sie hat aber auch (da eben leer) keine inneren Punkte, so dass sie abgeschlossen sein muss.
Sind abzählbare Mengen abgeschlossen?
Jede endliche Menge ist abgeschlossen, und auch die Mengen ℕ und ℤ sind abgeschlossen. Während den offenen Mengen also nur die Mächtigkeiten 0 und „überabzählbar“ zukommen, können die abgeschlossenen Mengen also endlich, abzählbar unendlich oder überabzählbar sein.