Wie funktioniert der Basiswechsel?

Wie funktioniert der Basiswechsel?

Der Basiswechsel (Basistransformation) gehört zum mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Dadurch ändern sich im Allgemeinen die Koordinaten der Vektoren und die Abbildungsmatrizen von linearen Abbildungen. Ein Basiswechsel ist somit ein Spezialfall einer Koordinatentransformation.

Wie bestimmt man eine Basiswechselmatrix?

Eine Basiswechselmatrix oder auch Übergangsmatrix dient dem Basiswechsel. Links steht die geordnete Basis B und rechts die geordnete Basis ¯B , also (von | nach) und rechts wendet man Gauß an.

Wie transformiert sich die Matrix einer linearen Abbildung bei Basiswechsel?

Bei Wechsel der Basis eines Vektorraums ändert sich auch die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung. Diese Änderung kann durch Multiplikation mit der Darstellungsmatrix der identischen Abbildung bzgl. der alten und der neuen Basis beschrieben werden.

Warum homogene Koordinaten?

Der Vorteil homogener Koordinaten liegt in der einheitlichen Darstellung der Elemente eines projektiven Raums, bei der Fernelemente keine Sonderrolle mehr spielen. Aus diesem Grund spielen homogene Koordinaten im dreidimensionalen Raum eine wichtige Rolle in der Computergrafik.

Wann ist eine Abbildung linear?

Eine Abbildung f : U → V heißt lineare Abbildung (Vektorraumhomomorphismus), wenn gilt: a) f(u + v) = f(u) + f(v) für alle u, v ∈ U b) f(λu) = λf(u) für alle λ ∈ K, u ∈ U. U und V heißen isomorph, wenn es eine bijektive lineare Abbildung f : U → V gibt. Wir schreiben hierfür U ≃ V .

Wie zeigt man dass Vektoren eine Basis bilden?

Die folgenden beiden Eigenschaften müssen erfüllt sein, damit eine Menge von Vektoren eine Basis eines Vektorraumes ist. Die Anzahl der Vektoren stimmt überein mit der Dimension des Vektorraumes. Die Vektoren sind linear unabhängig. → Eine Basis des Rn besteht also aus n linear unabhängigen Vektoren!

Was ist eine homogene Transformationsmatrix?

Auf der Basis der homogenen Transformationen können Koordinatentransformationen zwischen Objekten transparent über nicht rekursive Matrixprodukte beschrieben werden. Die Relation zwischen den Koordinatensystemen kann kompakt über die Position und Orien- tierung oder kurz Pose charakterisiert werden.

Wie erkenne ich ob eine Abbildung linear ist?

Eine Abbildung f:V→W heißt linear, wenn gilt:

1. -f ist homogen, das heißt, für alle v∈V und für alle α∈K gilt:
2. -f ist additiv, das heißt, für alle v, w∈V gilt:
3. Man kann zeigen, dass es für die Linearität genügt, wenn für alle α∈K und alle v, w∈V gilt: