Inhaltsverzeichnis
Wie bestimmt man die Determinante einer Matrix?
Seien A und B zwei n×n Matrizen und α eine reelle Zahl, dann gilt:
- det(α · A) = αn · det(A)
- det(AT) = det(A)
- wenn A eine Zeile oder eine Spalte bestehend aus 0 hat, dann ist det(A) = 0.
- wenn A zwei gleiche Zeilen oder Spalten hat, dann gilt det(A) = 0.
Was zeigt die Determinante einer Matrix an?
Die Determinante einer Matrix ( oder ) gibt an, wie sich das Volumen einer aus Eckpunkten zusammengesetzten Geometrie skaliert, wenn diese durch die Matrix abgebildet wird. Ist die Determinante negativ, so ändert sich zusätzlich die Orientierung der Eckpunkte.
Wann ist eine Matrix invertierbar Determinante?
Es gilt, dass die Determinante einer Matrix genau dann 0 ist, wenn ihr Rang kleiner n ist. Hat eine Matrix Determinante 0, so wissen wir aus dem vorigen Abschnitt, dass sie nicht vollen Rang hat. Dann ist sie auch nicht invertierbar! Ebenso gilt, hat eine Matrix Determinante ≠0, so ist sie invertierbar.
Kann man die Determinante einer nicht quadratischen Matrix berechnen?
Für nichtquadratische Matrizen ist die Determinante nicht definiert. Die Determinante ist eindeutig, d.h. jeder quadratischen Matrix wird genau eine Determinante (Zahl) zugeordnet.
Was sagt Determinante über Rang aus?
Ist der Rang einer quadratischen Matrix gleich ihrer Zeilen- und Spaltenzahl, hat sie vollen Rang und ist regulär (invertierbar). Eine quadratische Matrix hat genau dann vollen Rang, wenn ihre Determinante von null verschieden ist bzw. keiner ihrer Eigenwerte null ist.
Wann ändert sich die Determinante?
Jedes Mal, wenn wir zwei Zeilen oder Spalten vertauschen, ändert sich dabei das Vorzeichen der Determinante. Wenn wir eine Zeile oder Spalte mit c ∈ R skalieren, dann ändert sich die Determinante um denselben Faktor c.
Ist die Determinante stetig?
Determinante ist stetige Abbildung – OnlineMathe – das mathe-forum.
Wann ist eine 3×3 Matrix invertierbar?
Voraussetzung für die Existenz einer Inversen Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn gilt: . Zu Matrizen, in denen Zeilen oder Spalten linear abhängig sind, deren Determinante also beträgt, gibt es keine inverse Matrix.