Welche Matrizen kann man invertieren?

Welche Matrizen kann man invertieren?

Voraussetzung. Nur quadratische Matrizen können eine Inverse besitzen. Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn gilt: . Je nach Aufgabenstellung kann es sich lohnen, vorher zu überprüfen, ob die Matrix überhaupt invertierbar ist.

Wie wird eine Matrix invertiert?

Die Invertierung einer Matrix kann mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus oder über die Adjunkte der Matrix erfolgen. Die inverse Matrix wird in der linearen Algebra unter anderem bei der Lösung linearer Gleichungssysteme, bei Äquivalenzrelationen von Matrizen und bei Matrixzerlegungen verwendet.

Kann man die einheitsmatrix invertieren?

In A = A = AIn für alle A ∈ Mn,n. A ∈ Mn,n heißt invertierbar (oder regulär), wenn es eine Matrix B ∈ Mn,n gibt mit AB = In = B A. Um die Inverse von A ∈ Mn,n zu bestimmen, reicht es aus, eine Matrix B ∈ Mn,n mit AB = In zu finden.

Sind invertierbare Matrizen Kommutativ?

Die Menge der invertierbaren Matrizen in Rn,n ist bezüglich der Matrizenmultiplikation eine (nicht kommutative) Gruppe.

Wie erkennt man ob eine Matrix invertierbar ist?

Definition 1 Eine Matrix A ∈ M(n × n,R) heißt invertierbar, wenn es eine Matrix B ∈ M(n × n,R) gibt mit BA = En. Die Matrix B heißt dann zu A inverse Matrix. x = Enx = (BA)x = B(Ax) = B · 0=0. Damit ist x der Nullvektor, also Ax = 0 eindeutig lösbar.

Wann ist eine Matrix gleich ihrer inversen?

Inverse Matrix Eine orthogonale Matrix ergibt multipliziert mit ihrer transponierten Matrix, die Einheitsmatrix. Die transponierte und die invertierte Matrix sind bei einer orthogonalen Matrix gleich (AT = A-1). Das Gleiche gilt also auch für die Multiplikation mit der Inversen Matrix.

Ist eine symmetrische Matrix immer Invertierbar?

So ist eine reelle symmetrische Matrix stets selbstadjungiert, sie besitzt nur reelle Eigenwerte und sie ist stets orthogonal diagonalisierbar. Symmetrische Matrizen besitzen Anwendungen unter anderem in der Geometrie, der Analysis, der Graphentheorie und der Stochastik.

Warum ist jede invertierbare Matrix als Produkt von Elementarmatrizen darstellbar?

Satz 9.3 (Invertierbare Matrizen und Elementarmatrizen) Jede invertier- bare n × n-Matrix A ist darstellbar als Produkt von Elementarmatrizen. Jede m × n-Matrix A lässt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform und analog durch elementare Spaltenumformungen auf Spal- tenstufenform20 bringen.

Wann ist eine Matrix Diagonalisierbar?

Definition. Eine quadratische Matrix A ∈ C(n,n) heißt diagonalisierbar, wenn es eine Matrix X ∈ GL(n,C) gibt mit A = XDX−1 .

Wann ist der Rang einer Matrix voll?

Ist der Rang einer quadratischen Matrix gleich ihrer Zeilen- und Spaltenzahl, hat sie vollen Rang und ist regulär (invertierbar). Diese Eigenschaft lässt sich auch anhand ihrer Determinante feststellen. Eine quadratische Matrix hat genau dann vollen Rang, wenn ihre Determinante von null verschieden ist bzw.