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Ist eine Funktion konvex?
Eine Funktion heißt konkav (konvex) auf einem Intervall I, wenn die Sekante durch je zwei Punkte P1 und P2 des Graphen unterhalb (oberhalb) des Graphen liegt. Die Funktion F(x) sei zweimal stetig differenzierbar auf dem Intervall I. Dann gilt: F(x) ist genau dann konvex auf I, wenn F“(x) \ge 0 für alle x \in I.
Ist R konvex?
Eine Menge K des Rn heißt konvex, wenn mit x, y ∈ K auch die Strecke [x, y] := {λx + (1 − λ)y : 0 ≤ λ ≤ 1} zu K gehört. Jede Kugel Br(x0) ist konvex. Beweis: Aus |x−x0| < r und |y −x0| < r folgt für 0 ≤ λ ≤ 1 das gilt |λx+ (1−λ)y −x0| = |λ(x − x0) + (1 − λ)(y − x0)| ≤ λ|x − x0| + (1 − λ)| < λr + (1 − λ)r = r.
Ist jede konvexe Funktion differenzierbar?
Eine auf einem offenen Intervall definierte, konvexe bzw. konkave Funktion ist lokal Lipschitz-stetig und somit nach dem Satz von Rademacher fast überall differenzierbar. Sie ist in jedem Punkt links- und rechtsseitig differenzierbar.
Wann ist eine Funktion streng konkav?
Eine Funktion heißt also streng konkav, wenn die Verbindungsgerade zwischen zwei beliebigen Punkte dieser Funktion vollständig unterhalb der Funktion liegt. Jede streng konkave Funktion ist konkav.
Ist eine Kugel konvex?
Strecken und Geraden sind konvexe Mengen. Jede Dreiecksfläche und alle einfachen regelmäßigen Polygonflächen sind konvex. Kreisscheiben und Kugeln sind konvex, sogar streng konvex.
Ist R2 konvex?
Definition 2 Die kleinste konvexe Menge, die E enthält, wird konvexe Hülle von E genannt und mit conv(E) bezeichnet. Eine Teilmenge von RN wird Polytop genannt, wenn sie die konvexe Hülle einer endliche Teilmenge von RN ist. Beispielsweise sind konvexe n-Ecke in R2 Polytope, ebenso Quader, Tetraeder und Oktaeder in R3.
Hat jede konvexe Funktion ein Minimum?
Eine strikt konvexe Funktion hat höchstens ein globales Minimum. Eine stetige strikt konvexe Funktion auf einer kompakten konvexen Menge hat auf dieser Menge genau ein globales Minimum.