Welche Eigenschaften hat eine Aquivalenzrelation?

Welche Eigenschaften hat eine Äquivalenzrelation?

Unter einer Äquivalenzrelation versteht man in der Mathematik eine zweistellige Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Äquivalenzrelationen sind für die Mathematik und für die Logik von großer Bedeutung.

Kann eine Menge Antisymmetrisch und symmetrisch sein?

Annahme, es gibt zwei verschiedene Elemente, die in (symmetrischer UND antisymmetrischer) Relation stehen, dann folgt, dass die beiden Elemente gleich sind (s.o.). Also kann (kontrapositorisch) keine Relation sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch sein, wenn zwei verschiedene Elemente in dieser Relation stehen.

Was bedeutet ∼?

Eine Relation ∼ auf A heißt eine Äquivalenzrelation oder kurz eine Äquivalenz, falls ∼ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Gilt a ∼ b für a, b ∈ A, so sagen wir, dass a und b äquivalent (bzgl. ∼) sind.

Wie Äquivalenzrelation beweisen?

Für jede Äquivalenzrelation auf einer Menge M gilt: (a) Für a,b ∈ M gilt a ∼ b genau dann, wenn a = b. (b) Jedes Element a ∈ M liegt in genau einer Äquivalenzklasse. Insbesondere ist M also die disjunkte Vereinigung aller Äquivalenzklassen. Beweis.

Wann ist eine Menge Antisymmetrisch?

Wir nennen eine zweistellige Relation R in einer nichtleeren Menge M antisymmetrisch, wenn aus xRy folgt, dass yRx falsch ist, wenn x und y verschiedene Elemente sind:. Für alle Paare x,y aus der Menge M für die „x ungleich y“ gilt: Aus „x steht in Relation zu y“ folgt: „y steht nicht in Relation zu x“.

Wann ist eine Menge Transitiv?

Lemma Es sei R eine zweistellige Relation auf der Menge A. Dann gilt: (a) R ist reflexiv genau dann, wenn IdA ⊆ R gilt. (b) R ist symmetrisch genau dann, wenn R−1 ⊆ R gilt. (c) R ist transitiv genau dann, wenn R ◦ R ⊆ R gilt.

Kann eine Relation reflexiv und antisymmetrisch sein?

Antisymmetrie und Symmetrie sind zwei unterschiedliche Eigenschaften von zweistelligen Relationen. Es gilt nicht, dass eine nicht-symmetrische Relation automatisch antisymmetrisch ist und umgekehrt. Das selbe gilt für die Reflexivität und die Irreflexivität.

Wann ist eine Relation vollständig?

Eine Relation heißt lineare Ordnung oder totale Ordnung oder Ordnung, wenn sie Halbordnung ist und zusätzlich noch total ist. Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. ist sogar totale Ordnung.

Was ist eine Identitätsrelation?

Beispiele für Identitäts-Relationen sind: Die Relation „ist gleich“ in der Menge der natürlichen Zahlen.. Da zwei verschiedene natürliche Zahlen nie gleich sind, handelt es sich um eine Identitäts-Relation.

Wann ist eine Relation eine Äquivalenzrelation?

(b) Eine Relation R heißt Äquivalenzrelation, wenn die folgenden Eigenschaften gelten: (A1) Für alle a ∈ M gilt a ∼ a (Reflexivität). (A2) Sind a,b ∈ M mit a ∼ b, so gilt auch b ∼ a (Symmetrie). (A3) Sind a,b,c ∈ M mit a ∼ b und b ∼ c, so gilt auch a ∼ c (Transitivität).

Was ist ein Vertretersystem?

Sei X eine Menge und ∼ eine Äquivalenzrelation. Eine Teilmenge Z von X heißt Vertretersystem für∼, falls es zu jedem y ∈ X genau ein z ∈ Z gibt mit y∼z. Es ist also nichts anderes als eine Menge Z die immer genau ein Element jeder Äquivalenzrelation enthält.

Was ist die Äquivalenzklasse x?

Genauer: Die Äquivalenzklasse von x ist die Menge aller Elemente, die äquivalent zu x sind. Beispiel: Wir betrachten auf der Menge aller einfarbigen Autos die Äquivalenzrelation ~, die wie folgt definiert wird: x ~ y genau dann, wenn x und y dieselbe Farbe haben.

Was sind die Elemente einer Äquivalenzklasse?

Elemente einer Äquivalenzklasse werden ihre Vertreter oder Repräsentanten genannt. Jedes Element von ist in genau einer Äquivalenzklasse enthalten. Die Äquivalenzklassen zu je zwei Elementen sind entweder gleich oder disjunkt. Ersteres genau dann, wenn die Elemente äquivalent sind: . . setzt. . . eine Äquivalenzrelation gegeben. bezeichnet.

Was sind solche Äquivalenzrelationen?

Von besonderem Interesse sind jedoch solche Äquivalenzrelationen , deren Quotientenabbildung mit der Struktur auf verträglich bzw. ein Homomorphismus ist, weil dann die von erzeugte Struktur auf der Quotientenmenge von der gleichen Art ist wie die von . Eine solche Äquivalenzrelation nennt man eine Kongruenzrelation auf der strukturierten Menge .

Was sind Äquivalenzrelationen für Mathematik und Logik?

Äquivalenzrelationen sind für die Mathematik und für die Logik von großer Bedeutung. Eine Äquivalenzrelation teilt eine Menge restlos in disjunkte (elementfremde) Untermengen, Äquivalenzklassen genannt. Die Klassenbildung mit Hilfe des Äquivalenzbegriffes ist grundlegend für viele mathematische Begriffsbildungen.