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In welchem Zusammenhang stehen elementare Zeilenumformungen und elementare Matrizen?
Generelle Eigenschaften Elementare Zeilenumformungen (bzw. Spaltenumformungen) ergeben sich durch Linksmultiplikation (bzw. Rechtsmultiplikation) mit einer Elementarmatrix. Der Rang einer Matrix ändert sich durch elementare Zeilen- oder Spaltenumformungen nicht.
Was sind elementare Matrizen?
Unter einer Elementarmatrix oder Eliminationsmatrix versteht man in der linearen Algebra eine quadratische Matrix, welche sich entweder durch die Änderung eines einzigen Eintrages oder durch Vertauschen zweier Zeilen von einer Einheitsmatrix unterscheidet.
Wie Multipliziert man Matrizen?
Um zwei Matrizen miteinander multiplizieren zu können, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen. Das Ergebnis einer Matrizenmultiplikation wird dann Matrizenprodukt, Matrixprodukt oder Produktmatrix genannt.
Wann ist eine Matrix diagonal?
Als Diagonalmatrix bezeichnet man eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonale bestimmt.
Wie ändert sich die Determinante bei Zeilenumformungen?
Regeln zu Zeilenumformungen Wenn du das Vielfache einer Zeile/Spalte auf eine andere Zeile bzw. Spalte addierst ändert das nichts am Wert der Determinante. Das heißt, wenn man zweimal Zeilen bzw. Spalten tauscht, bleibt der Wert gleich.
Wie berechnet man die Determinante aus?
Seien A und B zwei n×n Matrizen und α eine reelle Zahl, dann gilt:
- det(α · A) = αn · det(A)
- det(AT) = det(A)
- wenn A eine Zeile oder eine Spalte bestehend aus 0 hat, dann ist det(A) = 0.
- wenn A zwei gleiche Zeilen oder Spalten hat, dann gilt det(A) = 0.
Wie multipliziert man 3 Matrizen miteinander?
Es gilt das Distributivgesetz: Soll die Summe zweier Matrizen mit einer dritten Matrix multipliziert werden, kann auch die erste Matrix mit der dritten multipliziert werden und die zweite mit der dritten multipliziert werden und dann die Summe gebildet werden.
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